卡特兰式和快速幂

常用的应用场景：

1.括号匹配：有效的匹配方式，左括号数量不少于右括号数量。

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2.计算具有几个节点的二叉搜索树。

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3.路径问题：在一个n*n的网格中，计算从左上角到右下角的路径数量，条件只能向右或者向下，不能穿对角线。

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4.堆栈序列：计算n个元素有效的堆栈进出序列，有效序列指，进栈元素大于出栈元素。

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5.凸多边形划分三角形：计算一个凸多边形可被划分成三角形数量。

举例：比如三对括号的有效匹配方式式5个。凸五边形划分成五种三角形。

卡兰特式 ：H0:1 Hn = Hn-1*(4n-2)/n+1

洛谷P1044

题目

栈是计算机中经典的数据结构，简单的说，栈就是限制在一端进行插入删除操作的线性表。栈有两种最重要的操作，即 pop（从栈顶弹出一个元素）和 push（将一个元素进栈）。栈的重要性不言自明，任何一门数据结构的课程都会介绍栈。宁宁同学在复习栈的基本概念时，想到了一个书上没有讲过的问题，而他自己无法给出答案，所以需要你的帮忙。你的程序将对给定的 n，计算并输出由操作数列 1,2,…,n 经过操作可能得到的输出序列的总数。

解析

可以看出这个是要给出有效情况。所以是卡特兰式操作

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
constexpr int N = 20;
long long f[N];
void solve(){
	f[0] = 1;
	int n;
	cin>>n;
	for(int i = 1;i<=n;i++){
		f[i] = f[i-1]*(4*i-2)/(i+1);
	}
	cout<<f[n]<<endl;
	return;
}
int main(){
    ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);cout.tie(0);
	solve();
}

快速幂

题目：给你三个整数a,b,p，求 a^bmodp。

输入格式：

2 10 9

输出格式：

2^10 mod 9=7

题解

这个就是快速幂取模,快速幂的操作就是将幂指数变成二进制，然后一直对于超过的数一直取模就行了。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
constexpr int N = 1e5+10;
long long quick_exp(long long a,long long b,long long p){//快速幂的操作。
	long long res = 1;
	while(b>0){
		if(b&1) res = (res%p*a%p)%p;
		a = (a%p*a%p)%p;
		b>>=1;
	}
	return res%p;
}
int main(){
    ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);cout.tie(0);
	long long a,b,p;
	cin>>a>>b>>p;
	long long ans = quick_exp(a,b,p);
	cout<<a<<'^'<<b<<' '<<"mod "<<p<<'='<<ans;
}